混沌是非线性系统的最典型行为，它起源于非线性系统对于初始条件的敏感依赖性。混沌现象早在上世纪初就已经被法国学者彭加勒所发现，后来又被许多数学家所仔细研究。而学术界近年来对于混沌的特别关注，则起始于七十年代，这是因为美国人费根保姆发现了一些象平方函数重复迭代的很大一类简单映射系统居然具有普适的性质。例如倍周期分叉到混沌的道路，分叉参数的渐近收敛比值，分叉的几何特征具有普适标度性等等。而费根保姆工作则是受到了美国气象学家洛伦兹与气象预报有关的重要然而朦胧的工作的启示。

对于混沌系统的如下两个发现特别有意义。其一，人们发现一个决定论性系统的行为当处于混沌状态时似乎是随机的。仅仅这一发现就迫使所有的实验家要重新考察他们的数据，以确定某些曾经归于噪声的随机行为是否应该重新确定为是由于决定论性混沌而产生的。其二，人们发现很少自由度的非线性系统，就可能是混沌的而表现为相当复杂。这一发现给我们以这样的启示：许多真实系统中所观察到的复杂行为其实有一个简单的起源，那就是混沌。当然，混沌仅仅是复杂性的起源之一，还存在并非来源于混沌的更复杂的复杂性。

决定论性混沌的真实系统（例如气候）的行为具有明显的不可预测性。这一是由于系统对于初始条件的敏感依赖性；二是由于我们在实际中只能近似地测量或确定系统的初始条件，因为任何测量仪器都只具有有限的分辨率。这两个根本困难排除了对于任何混沌的真实系统作出长期预报的可能。

但从另一方面看，一个被确认为决定论性混沌的系统，在看起来非常复杂的行为中，却蕴藏着秩序，因而进行短期预报是可能的。问题在于：如何确定复杂现象的背后是否存在决定论性混沌的起源？又，如何对一个混沌系统的行为进行短期预报？对于气象或股票市场一类系统，由于不可逾越的复杂性，描写这类系统的完全方程组，即使是存在的，也决无办法知道。或者，即使我们能写出所有相关的方程组，也不可能有足够强大功能的计算机来求解这些方程组。但是从实用的角度考虑，往往只需要对这类系统作一次成功的短期预报。例如，为了在股票市场上赚钱，炒股者其实只需要能够预测明天或下一周股票的涨跌趋势，而不必知道市场的整个长时间的涨落规律。又例如，如果地球岩石圈的动力学系统被证明具有决定论性的成分，则地震的预测并非完全不可能，而与地震的中长期预报相比较，对某一地区的地震进行短临预报，对于人们的防震更有意义，所以，复杂系统行为的短期预测已经变成混沌的最令人感兴趣的一个应用。

混沌的另一个重要应用是混沌的控制。这一应用基于如下事实：有许多不稳定周期轨道嵌入在奇怪吸引子内，我们可以根据需要通过对系统施加一个小扰动的方法使其中之一稳定并将混沌系统驱动到这一稳定周期轨道状态。这一技术已经被成功地应用于各种机械的、电子的、激光的、化学的系统和心脏组织的控制上。

以上所概要的非线性动力学系统的物理或科学包含有序和无序的相互影响，也涉及简单和复杂的交错。但从数学和处理方法上看，产生所有那些迷人的结果的原因乃是系统的非线性。客观世界本来就是非线性的、复杂的。非线性物理就是一门以非线性系统的普遍规律及客观世界的复杂性本身为研究对象的学科，它在上一世纪八十和九十年代蓬勃发展，也将成为新世纪物理学研究的最前沿。

详见：汪秉宏 为《非线性物理概论》一书写的序言

非线性科学，目前有六个主要研究领域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自动机，和复杂系统。而构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统的非线性。

一个系统，如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。例如一个介电晶体，当其输出光强不再与输入光强成正比，就成为非线性介电晶体。例如弹簧，当其位移变得很大时，胡克定律就失效，弹簧变为非线性振子。又例如单摆，仅当其角位移很小时，行为才是线性的。实际上，自然科学或社会科学中的几乎所有已知系统，当输入足够大时，都是非线性的。因此，非线性系统远比线性系统多得多，客观世界本来就是非线性的，线性只是一种近似。任何系统在线性区和非线性区的行为之间存在显着的定性上的差别。例如单摆的振荡周期在线性区不依赖于振幅，但在非线性区，单摆的振荡周期是随振幅而变的。

从数学上看，非线性系统的特征是迭加原理不再成立。迭加原理是指描述系统的方程的两个解之和仍为其解。迭加原理可以通过两种方式失效。其一，方程本身是非线性的。其二，方程本身虽然是线性的，但边界是未知的或运动的。

对于一个非线性系统，哪怕一个小扰动，象初始条件的一个微小改变，都可能造成系统在往后时刻行为的巨大差异。迭加原理的失效也将导致Fourier变换方法不适用于非线性系统的分析。因此，系统的非线性带来系统行为的复杂性。对于非线性系统行为的解析研究是相当困难的。

更进一步，在许多情况下，对于我们所要研究的系统，方程是未知的，或甚至可能根本不存在。从分形图样生长的简单的扩散限制聚集模型，到象股票市场那样的复杂经济系统，我们可以举出无数写不出方程的非线性系统的例子。

详见：汪秉宏 为《非线性物理概论》一书写的序言