——北京大学非线性科学中心朱照宣（阅读全文）

什么是非线性？非线性是一个数学名词，它指两个量之间没有象正比那样的“直线”关系。自然科学和工程技术中有许多问题要用到非线性的数学模型，比如，采用了非线性模型以后，可以说明为什么同一个前提会导致几种不同的后果，可以说明什么时候两种效应不能“叠加”(superposition)，这两种现象会怎样彼此影响、发生“耦合”作用。

各门学科有各自的非线性问题，激光理论中有不少非线性光学问题，工程结构变形大的情况中要用非线性的结构力学，无线电技术中涉及非线性的振荡理论，说明化学反应中出现的螺纹波的起源，要用合适的非线性数学模型，等等。“非线性科学”是否管各门学科里所有非线性的问题呢？不是。真是那样的话，从数学的观点看来，线性是非线性的特殊情况，也可以算是非线性的一种，如果非线性科学里的“科学”又指所有学科，那么非线性科学就成为包罗一切的一门万能科学，也就甚么具体问题也不解决了。非线性科学只考虑各门学科中有关非线性的共性问题，特别是那些无法从线性模型稍加修正(比如摄动理论)还可解决的问题，再加上它自身理论发展所需要的一些概念方法等，这才是非线性科学的研究对象。共性很多地方表现为数学规律相同，因此数学在非线性科学里起很大作用；但数学在这里只是作为一种说明共性的手段，非线性数学(如果有这样一门学科的话，但一般不赞成这样的提法)只能用来解决由于非线性共性引起的某些数学问题，而另一些非线性共性虽然确实存在，但目前还很难用数学理论来处理。非线性科学和数学有密切关系，但不是一门数学。从学科性质说，非线性科学不是基础应用研究，而是基础性研究。钱学森1992年2月26日在科协全委会议讲话《再谈基础性研究》中说，“国家科委的基础性研究项目一共有12项，其中只有第一项是真正的基础研究，就是关于非线性科学的研究；还有一项可能是12项中排在最后，还没有定下来的，是经络研究。其他10项都是基础应用研究。”

从伽里略-牛顿（Galileo-Newton）时代开始有精确自然科学起，就碰上了非线性问题：伽里略研究过的摆和牛顿研究过的天体运动，都是非线性力学中的典型问题。19世纪经典力学两大难题——刚体定点运动和三体问题——就是上两个问题的继续，它们曾难倒了不少科学家，也因而推动了经典力学。19世纪末庞加莱(H.Poincare)正是在总结整个世纪这方面进展的基础上，提出不少新的理论和方法，当前非线性科学中的很多概念和思想，都本源于庞加莱。可以说非线性科学应当从20世纪初庞加莱开始算起，20世纪上半叶促进非线性科学发展的，有数学中的微分方程定性理论和无线电技术所需要的非线性线路理论，它们的结合引起“非线性振动理论”这一分支的成长。近二三十年非线性科学则又由于计算机的广泛引用而更兴旺起来，计算机不仅是数值计算的工具，也为非线性现象和理论分析提供了新的思想，促进这种发展的，还有数学中动力［学］系统理论的成长，以及统计物理学中不少成果，如重正化理论。非线性科学的研究范围究竟有多大，目前没有共同的标准。比如，近年来在学术界颇有影响的几“论”——普里高津(I.Prigogine)的耗散结构论，哈肯(H.Haken)的协同论，以及托姆(R.Thom)的突变论，也有人认为应算属于非线性科学。确实，这三“论”中许多定量的分析、一些概念和方法(如分岔(bifurcation)、自组织(self-organization)、图型(pattern)、分数维等)，是和非线性科学相同的。但是，这几“论”还有不少内容是企图说明某些更一般的、涉及自然界甚至社会现象的普遍规律，有些则是带有哲理性或思辨性的论断。后面这些，我们宁愿不把它算在非线性科学范围内。非线性科学中，应该包括哪些可以有定量分析、精确计算、数学理论或实验研究的部分，大家的看法也并不一致，但一般认为，以下三项内容是它的不可少的组成成分或者是它的主体：孤立波(soliton)，分形 (fractal)，混沌(chaos)。

孤立波，以及相应的孤立子的研究，是这三者中发展较早的一个。当然它的发现可以追溯到 19世纪，即使是对它的理论和实验研究，在20世纪50-60年代也已较多。到今天，除了沿它自身体系发展外，由于它在数学处理上已取得不少经验，我们指望从而得到了解其他非线性现象中图型形成的机理。比如，有空间传播性能的波形不变的非线性现象，可以认为是系统中由于自组织而“降维”，在数学上和非线性振动中的所谓同宿解有关。对其他非线性现象的理解可能从孤立波已有成果得到借鉴。

分形和不规则形状的几何有关。人们早就熟悉从规则的实物抽象出诸如圆、直线、平面等几何概念，芒德波罗(B.B.Mandelbrot)则对曲曲弯弯的海岸线、棉絮团似的云烟找到合适的几何学描述方法——分形。早期概念中的分形要求整体和它的各个局部都相似，即具有“自相似性”(self-similarity)。正如天下没有绝对圆的东西、几何学里的圆存在于数学家脑袋中一样，完全自相似的分形也只是一种数学抽象。当今概念中的分形(多重分形 (multifractals))对自相似性作了适当的修正和推广，使分形更能接近现实的事物。这套几何工具在处理许多非线性现象时是很有效的。分形理论开始是在各种物理或真实例子里寻找应用，后来人们则进一步研究那些具有分形几何特征的事物具有什么样的物理规律，研究分形形状的事物是如何随时间演化的。分形理论出现较晚，它的数学准备不象孤立波那样充分，目前它的数学理论和实际应用之间距离还较大，有些数学概念还得从头重新建立。比如，微积分里导数是和光滑曲线的斜率相联系的，对于曲曲弯弯海岸线那样的曲线，导数又怎样定义?如果象微分积分那样的操作都没有，那就很难做进一步的定量的研究。分形数学和分形物理的结合还刚开始。

混沌指一种貌似无规的运动，但支配它这种运动的规律却可用确定型的方程来描述。上面提到的庞加莱在总结天体力学中的问题时，已经对这种现象有了认识。到20世纪50年代，有些物理学家(如玻恩(M.Born))也已明确知道经典力学中会有长期动态的不可预测性。但混沌现象和理论开始受到重视，一般认为契机于60年代两件事。一是罗仑兹(E.Lorenz)在天气预报方程的研究中发现，尽管描述用的方程是确定性的，天气长期动态却是不可预测的。另一是，几位数学家证明了有关经典力学动态的一个定理，即现在按他们的姓称谓的卡姆(KAM)理论。这两件事也分别代表混沌理论两类对象和两种方法：罗仑兹的对象是耗散系统(这类系统和周围环境有联系、有交往，它们在自然和工程中都有)，而卡姆的对象是保守系统(当作是孤立的、封闭的，它们在天体研究和统计物理中常见)。罗仑兹依靠的是数值计算，卡姆用的是严格数学推理，这两种方法在混沌理论研究里都是必不可少的。当前混沌理论所面临的数学情况比分形理论好些，但不如孤立波。现有的数学有的对混沌理论很起作用，也有些问题则还没有找到称手的数学工具。

以上三项内容是彼此联系着的，也还和其他问题有关。当一个系统或事物里有可调的参量( 设参量自身不参与随时间变化)，参量不同会引起系统长期动态发生什么根本的(定性)变化，这是“分岔理论”所关心的问题。当参量变化跨越某些临界值(叫做分岔点)，系统将有根本的转变，比如孤立波失稳了，或者一种分形结构变化了，混沌过程变成周期振荡了，等等。再有，如果在一系统或事物的演化中，从时间过程看有混沌，而在空间分布上又有变化着的分形图型，就得时空联系起来研究图型的动力学。正是本着这样的观点，在《非线性科学》这个重大项目里的各个课题，是既有分工又有联系。

在《非线性科学》项目里目前定下的课题有15个，分两类。一类是研究已明确各类非线性系统所共有的那些问题，如上面提到的内容。另一类是某几个特殊的非线性系统，如等离子体、流体力学中的湍流、生命科学中个别的问题。研究这些“个性”，目的是为了更好地了解 “共性”，或者发现一些新的“共性”。第一类的9个课题是：1)可积系统的数学理论；2) 孤［立］子实验与物理特性；3)耗散系统混沌的深入研究；4)保守系统的混沌行为；5)量子混沌；6)混沌实验研究；7)分形的数学理论；8)分形的物理机理；9)非线性发展方程描述的无穷维系统。属于第二类的有6个课题：10)时空离散系统的基本机理；11)随机力对非线性系统的作用；12)湍流的动力学途径研究；13)生命系统中若干非线性现象；14)等离子体中相干结构、混沌与湍流相互关系的研究；15)固态物质损伤演化的非线性动力学。

——杨福家院士谈高教新发展

“一流大学不是一个奢侈品，而是必不可少的发动机。为了中国经济进一步高速发展，我们需要在自己的土地上建立世界一流大学。而这个多年来的梦想已经有了实现的可能。”复旦大学教授、英国诺丁汉大学校长杨福家院士鸡年伊始接受记者采访，将眼光投向了中国高校的发展。

他认为，目前国内一些名校处在发展历史上的“黄金时期”。国家重视高等教育发展，近年来尤其加大了对部分重点院校的支持力度。同时高校内涵建设也亮点频频。如北大、复旦等高校正实施人才培养改革。北大在试行“元培班”(进校不分任何专业)的同时，去年起全校按大类招生。复旦今年入学新生都进文理学院，还积极开发课程，推进学分制改革。

最近一件事让他感触颇深：一位学生博士读了半年提出退学，说是对科研没有兴趣了，想考公务员，因为工资高。学生固然有选择职业的自由，但立志、爱国，应该是大学生精神土壤中的两大根本。思想教育是个系统工程,需要小学、中学、大学一以贯之。杨福家感谢母校格致中学给了他人生中最宝贵的东西———人生观，从没梦到有梦，有了追求。

中国高校的毛入学率已从1978年的1.4%增加到如今的19%，在校大学生已达2000万。如何使人才培养更具针对性？杨福家认为考试是必须的，但“一考定终身、一分定命运”格局需要改变。宁波诺丁汉大学去年首次在浙江省内招了260名学生，其中三分之一学生是以新模式招生。这部分学生由重点中学校长推荐，高考前诺丁汉大学组织教授对他们进行面试，确定是否录取，高考成绩只是一个参考。这也是对改革国内高校录取方式的一种尝试。

一流大学该什么样？抛开数据和指标，杨福家引用了吴健雄教授说过的一句话——“什么叫一流大学?只要在周末晚上去看看那里的灯火是否辉煌。”一所大学的质量并不取决于它所拥有的教学大楼、实验室和图书馆，虽然这些都很重要，但决定科学研究水平高低的关键在人，在于人所承载的精神和创造的氛围。

杨福家热切期盼一大批既充满着激情与兴趣、又能艰苦奋斗的优秀学生，在杰出的教授指导下，在宽松又自由的氛围中，日日夜夜地探索自然奥秘，攻克技术难关，诺贝尔奖获得者和大发明家由此孕育和诞生。

来源：解放日报 2005.2.9

线性与非线性的重大区别是稳定性的区别；非线性科学的核心问题是“孤立子”与“混沌”；非线性科学的特点是交叉性和新型学科，其中交叉性是非线性科学的突出特点。如当今的科研热点——图象处理技术就集中体现了多学科的交叉。

非线性科学的核心问题之一“孤立子”，就其历史而言，可追溯到1834年英国力学家Russell在海边发现的孤立海波，随后荷兰数学家Korfeweg和Vries于1895年对其进行研究，并得到了现在著名的KDV方程，直到1965年，Krushal将它定义为孤立子，从而迎来了世界研究孤立子的高潮，尤其对它的特性、特征进行了深入的研究，并取得了突破性的进展。这期间最显著的应用是激光打靶与光纤通讯。前者解释了以前无法解释的一些物理现象，而后者则带来了通讯介质的革命。

做为非线性科学的核心问题，孤立子其有以下几个重大特征：一是孤立子解；二是Bachlund交换；三是无穷多守恒律；四是散射反演法。正是这些特点促使孤立子成为当今世界研究的热点问题。

归纳其最新的研究进展，其一是peah Solifon，如Camassu-Holm方程；其二是三维Eulv方程的可积。

摘自：郭柏灵院士《非线性科学》学术报告会